조건부 확률

조건부 확률

사건 A,B가 표본공간 S의 두 부분집합이며, 사건 A가 일어났다는 조건 하에 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때 사건 B의 조건부 확률이라 한다. 이는 기호로 다음과 같이 표현한다. \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

분모가 표본공간 S가 아닌 \(P(A)\)인 이유는 A사건이 일어났을 때를 기준으로 확률을 구하는 것이기에 여사건을 포함하는 모든 사건의 집합인 표본공간이 아니라 A사건만을 기준으로 해야하기 때문이다.

이것은 표본공간 전체에서 곱집합을 구한 것이다. \[ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(s)} \]

• n은 원소의 수를 의미한다.

조건부 확률의 수식이 나오게 된 과정을 정리하자면 다음과 같다.

\[\begin{align*} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{\frac{n(A \cap B)}{n(S)}} {\frac{n(A)}{n(S)}} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \end{align*}\]