기본 수학 - 거듭제곱과 거듭제곱근
거듭제곱
- \( a \)를 \( n \)번 곱한 \( a^n \)을 \( n \)제곱이라고 한다.
- \( a^2 \), \( a^3 \), \( \cdots \) \( a^n \), \( \cdots \)를 통틀어 \( a \)의 거듭제곱이라 고 한다.
- \( a^n \)에서 \( a \)를 거듭제곱의 밑, \( n \)을 거듭제곱의 지수라 한다.
지수법칙 정리
- \( a^m + a^n = a^{m+n} \)
- \( (a^m)^n = a^{mn} \)
- \( (ab)^n = a^n b^n \)
- \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) (단,\(b \neq 0\) )
- \[a^m \div a^n = \begin{cases} a^{m-n} \quad (m>n) \\ 1 \quad (m=n) \\ \frac{1}{a^{n-m}} \quad (m<n)\\ \end{cases}\]
거듭제곱근
제곱근이란
제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 한다.
- 5의 제곱근: \( \pm{\sqrt5} \)
그냥 제곱근은 이렇게 표현한다.
- 제곱근5 : \( \sqrt5 \)
- 제곱근은 Square root라고 하며, 제곱을 square라고 할 때의 의미와 동일하다.
거듭제곱근의 개념
n을 n>= 2인 정수라 할 때, 실수 a에 대하여 방정식 \(x^n = a\)의 해를 a의 n제곱근이라 한다.
- n>=2인 이유는 거듭제곱을 가정하기에, 2보다 작은 경우는 굳이 생각할필요가 없다.
- n승을 한거니 밑을 여러번 곱할 뿐, 밑인 \(x\)는 고정이다.
예시1
\(2^3 = 8\)을 생각해보자.
- 2는 8의 세제곱근이다.
- 8은 2의 세제곱이다.
a의 2제곱근은 그냥 a의 제곱근(square root)이라고 한다.
예시 2
4의 세제곱근
- \(x^3 = 4\)
- \(x\)를 세 번 곱해 \(4\)가 나오는 모든 \(x\)의 수
- \(\pm \sqrt[3]4\) 라고 표현한다.
정리
즉, \(x\)를 \( n \)번곱하여 \( a \)가 되는 모든 \( x \)를 가리켜 거듭제곱근이라 한다.
- \( a \)의 \( n \)제곱근
추가내용
제곱근을 구하는 것은 실수만 취급하면 되며, \( x^{n}=a \)의 실근을 구하는 방법은 \(y=a\)그래프와 \( y = x^{n} \) 그래프의 교점을 구하면 된다.
- 홀함수는 원점대칭으로 그래프가 그려진다.
- 짝함수는 y축대칭으로 그래프가 그려진다.
홀함수의 실근
- \( (a>0), \) \( (a=0), \) \( (a<0) \) 각각 case에서 실근이 하나씩 나온다.
짝함수의 실근
- \( (a>0) \) 에서 근이 2개 나온다.
- \( (a=0), \) 에서 근이 1개 나온다.
- \( (a<0) \) 에서는 근이 나오지 않는다.
그래서 홀함수, 짝함수에 관계 없이 실근을 가지는 경우는 a가 0보다 클 때 밖에 없으므로 \(a>0\)인 경우만 생각한다. \(a=0\)인 경우는 어차피 \(0\)에서 몇 제곱을 하든 0이므로 \(a>0\)인 경우만 보면 된다.