기본 수학 - 거듭제곱근의 성질

다항식의 실근을 나타내는 방법

\( x^n = a \)에서 \( a>0 \)a가 양수일 때 다항식의 실근을 어떻게 나타내는지 생각해보자.

• n이 홀수인 경우
  • a가 0보다 크므로, 홀수번 곱해도 \( \sqrt[n]a > 0\)이다.
• n이 짝수인 경우
  • 실근이 양수, 홀수 2개 존재하므로, \( \pm{\sqrt[n]a} \)이다.

거듭제곱근의 성질

성질 1

성질 2

성질 3

성질 4

성질 5

문제풀이

\( \sqrt[n]{a^n} \)의 주의점

\( \sqrt[n]{a^n} = a\)라고 함부로 결론 내리면 안된다.

n이 홀수인 경우

a에 들어올 수 있는 것은 우리가 양수로 단정짓지 않았나?

• 그것은 짝수를 같이 포함해서 생각해야 했기에 그런 것이었다.
• 만약 n이 홀수인 경우만을 가정해서 생각한다면 굳이 a가 양수라는 조건을 생각할필요가 없다.
• 그 이유는 n이 홀수라면 a값이 양수, 0, 음수임에 관계없이 실근을 하나씩만 가지므로 이에 대한 경우도 생각해볼 수 있다.
• 실제로 위에서 보면 -2가 그대로 나온 것을 확인할 수 있다.

n이 짝수인 경우

짝수인 경우에는 \( \sqrt[4]{-2^4} = 2\) 인 경우를 보면 제곱근 안에서는 \(-2\)지만, 결과는 \(2\)인 것을 확인할 수 있다. 그렇기에 n이 짝수인 경우에는 어떤 상황이 발생하는지를 정리하자면 다음과 같다. \[ \sqrt[n]{a^n} = \lvert a \rvert \]

주의점

거듭제곱근의 성질은 모두 \(a\)가 양수일 떄를 기준으로 할 때만 적용된다.