기본 수학 - 유리수 및 실수 지수로의 확장
1. 유리수 지수로의 확장
\( a > 0 \)이고 \( m \)은 정수, \( n \)은 2 이상의 자연수 일 때,
- \( a^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m} \)
- \( a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a} \)
- 지수가 유리수일 때도 지수 법칙은 성립해야 한다.
- \( \frac{m}{n} \)에서 \( n \)이 2이상의 자연수인 이유는 \( n \)이 1이면 \( \frac{m}{n} \)이 정수가 되어버리기 때문
1.1 \( a^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m} \)의 정의
\( a>0 \)이어야 하는 이유
1.2 \(a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a} \)의 정의
1.3 지수가 유리수인 경우의 지수법칙
제곱근의 곱을 지수법칙을 활용하면 좀 더 쉽게 증명할 수 있다.
1.4 연습문제
(1)
밑이 음수인 경우는 지수법칙을 사용하면 안된다.
(2)
(3)
(4)
2. 지수가 무리수인 경우
- 지수가 무리수가 되었지만, 이 무리수 지수의 값을 정의하기 위해 지수를 유리수로 바꾸어 생각한 것이다.
- 무리수의 값이 어디로 다가가는지 확인한 뒤, 그 값을 3의 루트2제곱으로 정의한 것이다.
- 유리수와 무리수의 합집합이 실수이기 때문에 유리수와 무리수가 지수인 경우도 정의가 가능하기에 실수의 지수로 확장이 가능하다.
3. 지수가 실수인 경우
